Stand: 2004-03

Thomas Mertin
Netzwerk- und Elektrotechnik
D-41334 Nettetal

Die Zeitverzögerung wird mit dem Buchstaben T gekennzeichnet und die Art der Verzögerung durch die Ordnungszahl gekennzeichnet.

PT1 = P-Verhalten mit Zeitverzögerung 1. Ordnung
PT2 = P-Verhalten mit Zeitverzögerung 2. Ordnung

Zeitverzögerungen treten grundsätzlich im Zusammenhang mit anderen Charakteristiken auf (P, I, D) und sind eine wesentliche Eigenschaft der meisten Regelstrecken.

Analoge Nachbildung

Sprungantwort

Zum Zeitpunkt T1 hat sich der Kondensator auf 63% der maximalen Ausgangsspannung aufgeladen (T1 = τ).

Komplexer Frequenzgang

Eingangskreis:
Ausgangskreis:

Ablesbar:

• Tiefpaß 1. Ordnung
• Grenzfrequenz
  Bedingung:
  
  
• Phasengang
  
  ω -> 0 => φ -> 180°
  ω = ω_G => φ -> 135°
  ω -> ∞ => φ -> 90°

Bode-Diagramm

Amplitudengang

Phasengang

Ortskurve

Blockschaltbild

DIN	vereinfacht

Anwendung

Gegeben: PT1-Verhalten  mit K_P = 0,6; T1 = 2,4s
C = 47µF

Gesucht:
a) Dimensionierung
b) Sprungantwort (5 Werte für w = 5V)
c) Bode-Diagramm
d) PT1-Strecke (wie vor) mit P-Regler geregelt (K_PR = 4); Sprungantwort

a)

b)

c)

d)

Analoge Nachbildung

Passiv (Tiefpaß 2. Ordnung):

Komplexer Frequenzgang

Schwingkreisformeln:
Güte (Bei Resonanzfrequenz):
Dämpfungsfaktor:

Resonanzfrequenz:

Dämpfungsgrad:

mit

mit und T2 = T

Man unterscheidet zwei Arten von PT2-Verhalten.
- Schwingungsfähige Systeme
- gedämpfte Schwingung und nicht schwingungsfähige Systeme (D ≥ 1)

Sprungantwort

(D ≥ 1)
tw = Wendezeit	te = Einschwingdauer

Bode-Diagramm

Parameter: K_P = 1; f₀ = 1Hz; D = 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 0,71; 1

Amplitudengang

Phasengang

Die Charakteristik PT2 enthält zwei Verzögerungszeitkonstanten. Die einfachste Realisierung erfolgt durch serielle Anordnung von zwei PT1 - Gliedern.
Merke: Durch Reihenschaltung zweier oder mehrere PT1 - Gliedern entsteht grundsätzlich ein PT-Verhalten mit apreodischer Dämpfung (vergleiche Nachweis).

Durch Hintereinanderschalten zweier PT1-Glieder entsteht ein PT2-Glied, dessen Dämpfung so groß ist, daß eine Schwingung nicht ausgeführt werden kann (Dämpfungsgrad D ≥ 1).

Analoge Nachbildung

Sprungantwort

Komplexer Frequenzgang

mit und

Bode-Diagramm

Amplitudengang

Phasengang

ω -> 0
ω -> ∞

Ortskurve

Die Frequenz, bei der der Realteil gleich Null ist, nennt man Kennkreisfrequenz

Blockschaltbild

DIN	vereinfacht

Analoge Nachbildung

Passiv (Tiefpaß 2. Ordnung):	Aktiv

Nachfolgende Betrachtungen und Ableitungen erfolgen am Beispiel der passiven Nachbildung. Die abgeleiteten Darstellungen des komplexen Frequenzgänge besitzen jedoch grundsätzliche Gültigkeit.

Beim Aufbau von Regelkreisen (Zusammenschaltung von Regelkreisgliedern mit Rückführung) entstehen häufig PT2S-Charakteristiken. Physikalisch gesehen kann dabei der Regler als Verstärker und die Strecke als Kopplungsglied betrachtet werden.

Sprungantwort

Δx_a = ±10%
x1= 0,37V
x2 = 0,14V
t_A = 0,29s
t_E = 1,18s
T_e = 1,05s
ω_e = 5,984s
K_P = 1
D = 0,3

Δx_a = Einschwingtoleranz; zulässige obere und untere Toleranzgrenze sind systemabhängig
x1, x2 = Überschwingweite; die Überschwingweite ist von der Dämpfung D des Systems abhängig
t_A = Anschwingzeit; Zeit nach welcher die untere Toleranzgrenze zum erstenmal erreicht wird
t_E = Einschwingzeit; Zeit nach welcher die Toleranzgrenze zum letztenmal über- oder unterschritten wird
T_e = Periodendauer der Eigenfrequenz des Systems
ω_e = Eigenfrequenz;
K_P = Endwert; bei einem Eingangssprung von 1V

Bestimmung der Dämpfung:

Komplexer Frequenzgang

Gegeben:

Führungsverhalten:

mit:

=> PT2S-Verhalten

Bode-Diagramm

Amplitudengang

gegeben:

gegeben:

Phasengang

gegeben:

gegeben: (nicht invertierend)

Anwendung

Gegeben: PT1-Strecke mit K_PS = 0,8 und T1 = 2s; kombiniert mit I-Regler

Einstellung von K_IR für a) mit Dämpfung und b) mit Schwingung
a) K_IR = 0,2
b) K_IR = 5; Periodendauer der Schwingung T = 4,5s; f = 0,22Hz

Regelkreis (Führungsverhalten):

a) K_PS = 0,8; T1 = 2s; K_IR = 0,2

b) K_PS = 0,8; T1 = 2s; K_IR = 5

Schwingungsfrequenz:

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