Regelungstechnik

Stand: 2004-03

Thomas Mertin
Netzwerk- und Elektrotechnik
D-41334 Nettetal

Regleroptimierung

T_an = Anregelzeit (Anschwingzeit)
T_aus = Ausregelzeit (Einschwingzeit)
x_ü = Überschwingweite

Die Beurteilung einer Regelung im Hinblick auf die vorliegende Regelgüte ist problemabhängig. Nimmt man eine generelle Bewertung vor, so sind verschiedene Größen zur Beurteilung heran zu ziehen. Zur Bewertung bzw. Zum Auffinden einer günstigsten Einstellung sind viele Kenngrößen recht unpraktikabel, da dann eine Vielzahl von Kombinationsmöglichkeiten vorliegt. Optimierungskriterien und damit Einstellregeln gibt es in großer Zahl. Nahezu alle Kriterien beruhen auf Versuchsreihen.

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1. Stabilitätskriterium nach Nyquist (Vereinfachtes Verfahren)

Mit stabilem Verhalten eines Regelvorgangs bezeichnet man die Tatsache, daß zum Beispiel bei einer sprungartigen Änderung der Führungsgröße w die Regelgröße x nach einer endlichen Einschwingzeit in den stationären Zustand übergeht (eingeschwungener Zustand = periodisch gedämpfte Schwingung). Zur Stabiltitätsuntersuchung müßte eigentlich der geschlossene Regelkreis benutzt werden. Das vereinfachte Nyquist Kriterium besagt, daß von der Stabilitätsuntersuchung des offenen (aufgeschnittenen) Regelkreises auf die Stabilität des geschlossenen Regelkreises gefolgert werden kann.

offener Regelkreis

Als Ergebnis der Stabilitätsuntersuchung sind drei Fälle möglich:

Amplitudenbedingung	Phasenbedingung
\|F₀\| > 1	φ_Ges = 0°	Instabilität
\|F₀\| = 1	φ_Ges = 0°	Stabilitätsgrenze
\|F₀\| < 1	φ_Ges = 0°	Stabilität

Bei einem Regelkreis in nicht invertierender Ausführung muß zum Phasenwinkel φ_Ges 180° addiert werden.

Stabilitätsuntersuchung an der Ortskurve

Beispiel PT3-Verhalten (nicht invertierend)

Stabilitätsuntersuchung mit dem Bode-Diagramm

Beispiel PT3-Verhalten (nicht invertierend) mit T1 = T2 = T3 = 1s; K_PS = 1; K_PR = 5 bzw. 15

Untersuchnung auf ausreichende Stabilität

Amplitudenrand: bei ω_Krit
Forderung: für ausreichende Stabilität

Phasenrand φ_R ist der Winkel zwischen der negativen reelen Achse und dem Zeiger vom an der Stelle der Durchtrittsfrequenz ω_D.
Forderung: für ausreichende Stabilität

Beispiel PT3-Verhalten (nicht invertierend) mit T1 = T2 = T3 = 1s; K_PS = 1; K_PR = 2

Mathematische Stabilitätsuntersuchung

Beispiel PT3-Verhalten (nicht invertierend) mit T1 = T2 = T3 = T = 1s; K_PS = 1; K_PR = 5 bzw. 15

ω eingesetzt in
a) K_PR = 5

b) K_PR = 15

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2. Optimierung nach Ziegler und Nichols

	K_PR	T_N	T_V
P-Regler
PI-Regler
PID-Regler

Voraussetzung für die Anwendbarkeit

Die Charakteristik der zu regelnde Strecke muß bei Kombination mit einem reinen P-Regler ein schwingungsfähiges System ergeben (ungedämpfte Schwingung). Das Verfahren von Ziegler und Nichols ist experimentell aber auch am Bode-Diagramm anwendbar.

Schwingversuch

Strecke wird mit reinen P-Regler betrieben.
K_PR des Reglers wird schrittweise erhöht bis sich eine ungedämpfte Schwingung einstellt (Stabilitätsgrenze).
K_{PR Krit} am Regler ablesen.
Aus der Schwingung die kritische Periodendauer T_Krit ermitteln.
Mit beiden Werten aus der Einstellempfehlung nach Ziegler und Nichols erforderliche Reglereinstellung berechnen.
Kontrolle und gegebenenfalls Feinjustierung der Reglereinstellung.

Beispiel:
K_PS = 1; T1 = T2 = T3 = 1s
gemessen am Schwingversuch K_{PR Krit} = 10; T_Krit = 3,14s
Berechnen Sie die Einstellung für ein PID-Regler